复变函数在工程领域应用概述

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摘要：本文介绍了复变函数的基本概念和性质，回顾了复变函数的历史发展和经典应用，重点介绍了复变函数在计算机图形学和电路、电子、电磁学中的应用。通过这些应用，可以看出复变函数是一门非常精彩和实用的数学分支，它既有深刻的理论基础，又与许多实际问题有着密切的关系。复变函数在工程领域的应用具有重要性和广泛性，它可以用来表示和处理各种图像问题，分析和计算各种电路问题，为工程设计和优化提供有力的工具和方法。

关键词：复变函数，计算机图形学，电路学，电磁学

一、引言 ​

1.1 复变函数的基本概念和性质 ​

复变函数也叫作复解析函数，是一种以复数为自变量和函数值的函数。它们通常被表示为 $f(z)$，其中 $z$ 表示自变量，$z = x + iy$，其中 $x$ 和 $y$ 分别表示 $z$ 的实部和虚部，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。复变函数与实变函数不同，因为它们可以在复平面上讨论，这里自变量包括实部和虚部，可以用复平面上的点来表示。复变函数是数学分析的一个重要分支，也是许多其他数学领域的基础，如复几何、复代数、复拓扑等。复变函数的研究主要涉及到复变函数的定义、性质、分类、表示、积分、微分、级数展开、解析延拓、奇点、留数、边值问题等概念和方法

1.2 复变函数的历史发展和经典应用 ​

复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。

复变函数论从柯西的工作开始，已有170多年的历史了

复变函数在数学、物理学和工程领域有着广泛的应用，例如：

• 在数学中，复变函数可以用来证明一些重要的定理，如傅里叶级数的收敛性、素数定理、黎曼猜想等。复变函数也可以用来构造一些特殊的函数，如伽玛函数、贝塞尔函数、椭圆函数等。
• 在物理学中，复变函数可以用来描述一些物理现象，如电磁场、流体力学、量子力学、热力学、弹性力学等。复变函数也可以用来求解一些物理方程，如拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程、波动方程等。
• 在工程领域中，复变函数可以用来分析一些工程问题，如电路分析、信号处理、控制系统、图像处理、机器学习等。复变函数也可以用来设计一些工程方法，如拉普拉斯变换、傅里叶变换、z变换、离散余弦变换等。

因此，复变函数是一门非常精彩和实用的数学分支，它既有深刻的理论基础，又与许多实际问题有着密切的关系。本文在下面将介绍复变函数在工程领域的一些经典应用。

二、复变函数在计算机图形学中的应用 ​

计算机图形学是一种利用计算机生成和处理图像的学科，它涉及到许多数学知识，其中复变函数在计算机图形学中有着广泛的应用：它可以用来描述复平面上的映射关系，从而实现对图像的变换和分析

• 曲线拟合：曲线拟合是指根据一组离散的数据点，找到一个合适的函数来近似表示这些点的分布规律。复变函数可以用来表示曲线的形状，从而实现对曲线的拟合。例如，复变函数可以用来拟合二维或三维空间中的曲线，或者用来拟合复平面上的分形图形。复变函数的优点是可以用简单的函数形式来表示复杂的曲线，而且可以利用复变函数的性质和方法来进行曲线的分析和处理。
• 图像变形：图像变形是指对图像进行某种形式的变换，使其产生一定的变化或效果。复变函数可以用来描述图像的形变过程，从而实现对图像的变形。例如，复变函数可以用来实现图像的扭曲，旋转，缩放，投影等效果。复变函数的优点是可以用复平面上的映射关系来表示图像的变换，而且可以利用复变函数的性质和方法来进行图像的变形和优化。

在计算机图形学中，等角映射被广泛应用于图像处理和三维建模等方面。等角映射是一种保持角度不变的映射，也就是说，在映射前后两条曲线所夹的角度相同。等角映射的优点是可以保持图形的形状和比例，避免产生扭曲和失真。等角映射可以用于实现图像的变形、旋转、扭曲等效果，例如，将一张平面图像映射到一个球面或圆柱面上，或者将一张图像的某个区域进行局部的变形。等角映射的原理是通过建立图像坐标系和目标坐标系之间的映射关系，然后对图像的每个像素进行插值或重采样，得到变换后的图像。

实际上，这种等角映射也可以使用复变函数进行实现，方法如下

• 定义复变函数：选择一个形式为 $f(z)=a+be^iθ$ 的复变函数，其中 $a$ 和 $b$ 是复数，$θ$ 是常数，$e^iθ$ 表示极角为 $θ$ 的单位复数.

• 映射单位圆盘：将复平面上的单位圆盘 $z$ 映射为另一个圆盘 $w$，使得 $z$ 和 $w$ 之间的角度保持不变。这个映射可以用 $f (z)$ 表示，即 $w = f (z)$.

• 满足柯西-黎曼方程式：由于 $f (z)$ 是一个解析函数，它必须满足柯西-黎曼方程式:

  $$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$$

  $$\frac{\partial u}{\partial y}=- \frac{\partial v}{\partial x}$$

  即 $f(z)$ 的实部和虚部都是连续可微的，并且满足一定的偏微分方程.

综上所述，复变函数在计算机图形学中有着广泛的应用，它可以用来表示和处理各种图像问题，从而提高图像的质量和效果。

三、复变函数在电路、电子、电磁学中的应用 ​

随着电力工业的发展，人们发现复数能够表述正弦稳态电路的基本定 律并可完成复杂电路的计算，反映出复数理论与交流电路测量实践的统一性。20世纪初，美国电气工程师斯坦梅茨在研究正弦稳态交流电路的数学原理中发现：稳态电路的运动规律———基尔霍夫定律可用复代数方程表述

正弦函数与复数的具体变换方法是

$$i=Im[\sqrt{2}\cdot\dot{I}e^{j\omega t}]$$

$$u=Im[\sqrt{2}\cdot\dot{U}e^{j\omega t}]$$

其中：

$$\dot{I}=Ie^{j\varphi_i}=I\angle\varphi_i$$

$$\dot{U}=Ue^{j\varphi_i}=U\angle\varphi$$

上述电流和电压是与时间无关的复常数，其模是正弦量的有效值，幅角是正弦量的初相位，这种用复数表示的正弦量称为“相量”。因正弦量变换成相量后不考虑旋转因子 $e^{j\omega t}$，所以问题大大简化。复平面上所有相量的相位$(ωt+φ)$均由初相角 $φ$ 表示。相量图由各正弦量的有效值和初相角绘出，求出的电流与电压相量后可还原为正弦函数。

数学推导可将交流电路的微分方程组转换为复代数方程组。且频率恒定时正弦函数加法与复数加法具有等价性。运用复数加法规则计算得到：

$$\dot{I}=\dot{I}_1+\dot{I}_2=I_1\angle\varphi_1+I_2\angle\varphi_2=I\angle\varphi$$

且有：

$$I=\sqrt{I_1^2+I_2^2+2I_1I_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}$$

$$\tan\varphi=\frac{I_1\sin\varphi_1+I_2\sin\varphi_2}{I_1\cos\varphi_1+I_2\cos\varphi_2}$$

根据相量与正弦量之间的对应关系，将相量还原 为正弦函数，得到总电流是

$$i=\sqrt{2}I\sin(\omega t+\varphi)$$

可见复数加法（包括减法）与正弦函数加法存在严格的一一对应关系。于是可用复数的求和代替正弦函数的求和。因此基尔霍夫定律用复代数方程表述如下：

$$\sum\dot{I}=0$$

$$\sum\dot{E}+\sum\dot{U}=0$$

显然电压与电流相量之比得到电阻、复感抗、复容抗。如果研究对象是若干元件组成的无源二端网络，一般定义复阻抗为相量电压与电流之比：

$$Z=\dot{U}/\dot{I}$$

变形得到：

$$\dot{U}=Z\dot{I}$$

这就是复数形式的欧姆定律，它反映了正弦稳态 电路中具有普遍意义的元件伏安关系。

其实，对于这类电路学问题，常用的方法还有正弦函数、旋转矢量两者方法，但是只有复数电路定律在理论计算中显得特别简洁方便，且计算结果与电工测量实践保持统一性。因此正弦稳态电路的数学分析最终选择了复数法。总之，对于 正弦稳态电路，如果引入复电压、复电流、复阻抗的概念，运用复数基尔霍夫定律加上复数欧姆定律即可方便地求解电路问题。

四、总结 ​

综上所述，复变函数在工程领域的应用具有重要性和广泛性，它可以用来表示和处理各种图像问题，分析和计算各种电路问题，为工程设计和优化提供有力的工具和方法。复变函数的优势在于它可以将实变函数的微分、积分、级数等运算转化为复数域的运算，从而简化了问题的求解过程，提高了效率和精度。作为一种数学工具，复变函数也已经在许多工程领域得到了广泛的应用，如信号处理、图像处理、电子工程、流体力学、热力学、量子力学等。

对于未来的学科发展，复变函数更是有着广阔的前景和潜力。随着科技的进步和社会的需求，一些工程领域，如人工智能、生物工程、纳米技术等领域将会出现更多的新问题，这些问题和领域都需要复变函数的理论和方法来支撑和推动。同时，复变函数也可以与其他学科进行交叉和融合，如物理学、化学、生物学等，从而产生更多的创新和突破。因此，复变函数作为一种基础和核心的数学工具，将会在工程领域发挥更大的作用和影响。

参考文献 ​

[1]盖云英,包革军.复变函数与积分变换[ M ].北京：科学出版社,2001

[2]复变函数（以复数作为自变量和因变量的函数）_百度百科 https://baike.baidu.com/item/复变函数/3780

[3]英海燕,李翔.计算机图形学的发展及应用[J].现代情报,2004(01):33-35.

[4]复变函数在工程和科学中的应用全景_百度知道 https://baijiahao.baidu.com/s?id=1766740745481846282

[5]张立新.正弦稳态电路的分析为何选择复数法[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2015,31(04):73-78.

[6]于歆杰，朱桂平，陆文娟．电路原理[M]．北京:清华大学出版社，2010．273－274．